白猫プロジェクトのガチャの確率の計算方法
こんにちは、息を吸うマンと申します。
この記事では、白猫プロジェクトをプレイするうえで避けることできない
ガチャについて、その確率の計算方法を記載したいと思います。
- １．計算前の準備
- ２．ガチャをN回まわして、1点狙いのキャラを1回以上引く確率
- ３．ガチャをN回まわして、入替キャラのうちどれか１体を１回以上引く確率
- ４．ガチャをN回まわして、１点狙いを複数の入替キャラで成功させる確率（近似値）
１．計算前の準備
アプリ内に公開されているガチャの確率の情報を再確認しておきます。
同一レアリティ内での各キャラの出現確率は均等であることが記載されています。
星５キャラは１％、星４キャラは１０％の確率で提供されていることが記載されています。
この記事では、名星会筐体やセンテリュオ筐体等のような、星４キャラの総数が特殊なガチャではなく、一般的な入替ガチャについて計算します。また、スタンプ報酬や課金報酬によって次の１１連で星５が確定する仕様は無いものとして計算しています。
確率の計算には、エクセルやGoogleスプレッドシートのような表計算ソフトを使用しています。
２．ガチャをN回まわして、1点狙いのキャラを1回以上引く確率
2019正月ガチャで、エマを１点狙いしたいと仮定します。
まず、１回のガチャでエマが当たる確率を計算します。
2019正月ガチャの入替キャラ数は５体。フォースターを含めた星４キャラ数は１６体。同一レアリティ内での提供割合は均等に設定されていますので、
いきなり星５でエマが出る確率は 1％÷５＝0.2％
星４でエマが出る確率は 10％÷16＝0.625%
星５と星４を合計すると、 0.2% + 0.625% = 0.825%
2019正月ガチャにおいて、１点狙いする入替対象キャラの出現確率は、１回のガチャにつき0.825%であることがわかります。
本題の「ガチャをN回まわして、１点狙いのキャラを１回以上引く確率」は以下のように求めることができます。
100%-(100%-0.825%)^N （^は累乗を表現）
「(100%-0.825%)^N」は、ガチャをN回まわして狙いのキャラを１体も引けない確率を表しています。その確率を100％からマイナスすることで、狙いのキャラを１体以上引く確率を求めています。
Nを11,22,33…と増やしていった場合の「100%-(100%-0.825%)^N」の値は以下の通りです。
77連したときの１点狙い成功率は47%なので、77連までに１点狙いのキャラを引ければ、運が良い方だ、ということがわかります。また、198連したときの１点狙いの成功率は80.61%で、198連したとしても約2割の人は１点狙いのキャラを引けない、ということもわかります。
注：スタンプ10個目の星５確定は無いものとして計算しています
３．ガチャをN回まわして、入替キャラのうちどれか１体を１回以上引く確率
1回のガチャで入替キャラが出る確率をまず求めます。
２．で計算したエマの出現確率0.825%に入替キャラの数（５）を掛けます。
0.825% × 5 = 4.125%
１回のガチャで入替キャラのどれか１体が出る確率は4.125%であることがわかりました。
ガチャをN回まわして入替キャラうちどれか１体を１回以上引く確率は以下で求めることができます。
100%-(100%-4.125%)^N （^は累乗を表現）
２．の計算式とほぼ同じで、0.825%を4.125%に置き換えただけです。「(100%-4.125%)^N」はガチャをN回まわして入替キャラを１体も引けない確率を表しており、その確率を100％からマイナスすることで、入替キャラのうちどれか１体を１回以上引く確率を求めています。
Nを11,22,33…と増やしていった場合の「100%-(100%-4.125%)^N」の値は以下の通りです。
11連で入替キャラを何か１体引ければ運が良い方であり、55連しても約1割の人は入替キャラが１体も当たらないことがわかります。
４．ガチャをN回まわして、１点狙いを複数の入替キャラで成功させる確率（近似値）
１点狙いを複数キャラで行う場合の確率については、２．で計算した「１点狙いの確率」を応用します。
100%-(100%-0.825%)^N （^は累乗を表現）
これは、例えばガチャを110回まわしたときに、狙いの入替キャラ１体を１回以上引けている確率が「100%-(100%-0.825%)^110」＝59.80％であることを表しています。これは狙いの入替キャラがエマであっても、アマタであっても同じ確率です。
確率の計算においては、２つの事象AとBが同時に起こることを積事象と呼び、事象Aと事象Bが独立である場合、積事象が発生する確率は（Aが発生する確率）×（Bが発生する確率）で求めることができます。
このことをあてはめると、110連で、エマとアマタをどちらも１体以上引く確率は、（110連でエマが１体以上出る確率）×（110連でアマタが1体以上出る確率）で求めることができ、
59.80% × 59.80% = 59.80% ^2
=35.76% という結果になります。
一点狙いしたい入替キャラの数をCと置くと、ガチャをN回まわして、C体の入替キャラ全てで一点狙いを成功する確率は
｛100%-(100%-0.825%)^N｝^ C と表現することができます。
2019正月ガチャの場合、C=5の場合が、入替キャラ５体全員をコンプする確率となります。
ただし、この計算式によって求められる確率は正確な数値ではなく、近似値です。
先ほど、事象Aと事象Bが独立である場合に、AとBが同時に起こる確率は（Aが発生する確率）×（Bが発生する確率）であると記載しましたが、110連でエマが１体以上出る確率と、同じ110連でアマタが1体以上出る確率は、厳密には独立ではありません。
事象Aと事象Bが独立であるとは、AとBの結果がお互いに影響を与えないということです。「110連でエマが１体以上出る事象」が発生した場合、少なくともガチャ1回分アマタが出る確率は減っていることになり、「110連でエマが１体以上出る事象」が「同じ110連でアマタが1体以上出る事象」に影響を与えていることになります。
N=110, C=2のときの
｛100%-(100%-0.825%)^N｝^ C =
59.80% × 59.80% = 35.76% という前述の確率を正確に表現するなら、
・110回ガチャを回してエマが出る（ここでアマタが出ているかどうかは関係ない）
・さらに、その後もう一度110回ガチャを回して今度はアマタが出る（ここでエマが出ているかどうかは関係ない）
上記をどちらも満たす場合の確率、と表現することができます。
ただ、「N回ガチャを回してC体の１点狙いを成功させる確率」について近似値ではない本当の確率を求めようとすると、計算が滅茶苦茶大変になり、N回ガチャを引いた場合のすべてのガチャ排出パターンを洗い出して、パターンごとの確率を計算し、足し合わせるという作業が必要になります。複数の入替キャラを１点狙いする確率については、近似値を使う以外の方法を現時点では見つけられていません。
｛100%-(100%-0.825%)^N｝^ Cについて、Nを11,22,33...と増やしていき、さらにCを1,2,3,4,5と増やしていった場合の確率（近似値）は以下の通りです。
